Question

[Hoàng Yến]

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² = 3.

CMR:  1/a + 1/b + 1/c + 3/2 * (a+b+c) >= 15/2

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\right)+\left(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\right)\)

*Nháp*

Dự đoán điểm rơi tại a = b = c = 1 khi đó  \(VT=\frac{15}{2}\)

Ta dự đoán BĐT phụ có dạng \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge mx^2+n\)(Ta thấy các hạng tử trong điều kiện đã cho ban đầu đều có bậc là 2 nên VP của BĐT phụ cũng có bậc là 2)    (*)

Do đó ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\ge ma^2+n\);\(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\ge mb^2+n\);\(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\ge mc^2+n\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge m\left(a^2+b^2+c^2\right)+3n=3\left(m+n\right)=\frac{15}{2}\)

\(\Rightarrow m+n=\frac{5}{2}\Rightarrow n=\frac{5}{2}-m\)

Thay\(n=\frac{5}{2}-m\)vào (*), ta được: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge mx^2+\frac{5}{2}-m\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}-\frac{5}{2}\ge m\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(3x-2\right)}{2x\left(x+1\right)}\ge m\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{3x-2}{2x\left(x+1\right)}\)(**)

Đồng nhất x = 1 vào (**), ta được: \(m=\frac{1}{4}\Rightarrow n=\frac{9}{4}\)

Như vậy, ta được BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge\frac{x^2+9}{4}\)

GIẢI:

Ta có a,b,c là các số thực dương và \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a^2;b^2;c^2\le3\Rightarrow0< a,b,c\le\sqrt{3}\)

Ta chứng minh BĐT phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{3x}{2}\ge\frac{x^2+9}{4}\)(với \(0< x\le\sqrt{3}\))

\(\Leftrightarrow\frac{\left(4-x\right)\left(x-1\right)^2}{4x}\ge0\)(Đúng với mọi \(0< x\le\sqrt{3}\))

Áp dụng ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{3a}{2}\ge\frac{a^2+9}{4}\);\(\frac{1}{b}+\frac{3b}{2}\ge\frac{b^2+9}{4}\);\(\frac{1}{c}+\frac{3c}{2}\ge\frac{c^2+9}{4}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)+9.3}{4}=\frac{15}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1